Кредит – это финансовая сделка, в результате которой кредитор (как правило банк) предоставляет на определенный срок деньги заёмщику.
За пользование деньгами заёмщик, кроме погашения основного долга (тело кредита), выплачивает также кредитору проценты. Разделение погашающих платежей на две части, отвечающих за погашение долга (тело кредита) и погашение процентных денег, принципиально важно, поскольку от этого зависят уплачиваемые налоги.
Дифференцированный платеж - разные платежи, убывающие в арифметической прогрессии.
Основные характеристики дифференцированного платежа:
- Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
- Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
- при: S – сумма кредита, n – количество выплат, p – процентная ставка
- Первый платеж самый большой;
- Последний платеж самый маленький.
Клиент в банке взял кредит на срок n месяцев (лет, иной срок). В конце каждого месяца (года, иного срока) общая сумма оставшегося долга увеличивается на p%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную клиентом. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца (года, иного срока), подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц (год, иной срок) уменьшалась равномерно, т. е. на одну и ту же величину.
Решение:
Введем основные понятия:
Представим сумму кредита в виде:
Тогда:
Аналогично посчитаем второй и третий платеж и остаток долга после платежа:
А теперь давай посчитаем последний платеж и остаток долга.
Замечу, что при подсчете платежа, мы вычитаем из n число, меньшее на единицу чем номер платежа.
Суммарные выплаты по кредиту:
Подставим выведенные ранее значения платежей и упростим:
Во второй скобке мы свернули выражение с помощью правил арифметической прогрессии:
Если на экзамене вы используете данную формулу без вывода, то потеряете балл.
Примеры
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?
Решение
Введем основные понятия:
Представим сумму кредита в виде:
Тогда:
Аналогично посчитаем второй и третий платеж и остаток долга после платежа:
А теперь давай посчитаем последний платеж и остаток долга.
Замечу, что при подсчете платежа, мы вычитаем из n число, меньшее на единицу чем номер платежа.
Суммарные выплаты по кредиту:
Подставим выведенные ранее значения платежей и упростим:
Во второй скобке мы свернули выражение с помощью правил арифметической прогрессии:
Если на экзамене вы используете данную формулу без вывода, то потеряете балл.
Подставим в выведенную формулу известные значения и найдем n:
Ответ: 9 лет
января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:
– -го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со -го по -е число месяца необходимо выплатить часть долга;
– -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на -е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Введем основные понятия:
Представим сумму кредита в виде:
Тогда:
Аналогично посчитаем второй и третий платеж и остаток долга после платежа:
А теперь давай посчитаем последний платеж и остаток долга.
Замечу, что при подсчете платежа, мы вычитаем из n число, меньшее на единицу чем номер платежа.
Суммарные выплаты по кредиту:
Подставим выведенные ранее значения платежей и упростим:
Во второй скобке мы свернули выражение с помощью правил арифметической прогрессии:
Если на экзамене вы используете данную формулу без вывода, то потеряете балл.
т.к. "общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит" =>
Подставим в выведенную формулу известные значения и найдем n:
Ответ: 9 месяцев
В июле планируется взять кредит в банке на сумму млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит млн рублей?
Решение
Так как в задаче долг уменьшается равномерно, то речь идет о дифференцированных платежах. При такой схеме погашения кредита платеж состоит из двух компонентов:
т.е.
где S – сумма кредита, – количество выплат, – процентная ставка.
Наибольшим платежом является первый. Имеем:
Таким образом, кредит был взят на пять лет
Выведем формулу для подсчета общей суммы выплат (я это уже показывать не буду, но на экзамене это показываем обязательно).
Согласно формуле для дифференцированных платежей, суммарные выплаты по кредиту составляют:
Ответ: 14,4 млн.рублей
Примеры
Если тест отображается некорректно, воспользуйтесь ссылкой: