Урок 10. Дифференцированный платеж, часть II

Меню Главная

Главная ЕГЭ-2022 15. Финансовая задача (задание 15) Кредиты Урок 10. Дифференцированный платеж, часть II

Дифференцированный платеж - разные платежи, убывающие в арифметической прогрессии.

Основные характеристики дифференцированного платежа:

Долг уменьшается равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
Платежи уменьшаются равномерно (убывающая арифметическая прогрессия);
при: S – сумма кредита, n – количество выплат, p – процентная ставка
Первый платеж самый большой;
Последний платеж самый маленький.

Вывод этой формул необходимо выполнять в каждой задаче! Не ленись!

Примеры

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $7$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $p %$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $p$ , если известно, что последний платёж будет не менее $0.819$ млн рублей.

Решение

Так как в задаче долг уменьшается равномерно, то речь идет о дифференцированных платежах.

Введем основные понятия:

Представим сумму кредита в виде:

Тогда:

Аналогично посчитаем второй и третий платеж и остаток долга после платежа:

А теперь давай посчитаем последний платеж и остаток долга.

Замечу, что при подсчете платежа, мы вычитаем из n число, меньшее на единицу чем номер платежа.

Суммарные выплаты по кредиту:

Подставим выведенные ранее значения платежей и упростим:

Во второй скобке мы свернули выражение с помощью правил арифметической прогрессии:

Если на экзамене вы используете данную формулу без вывода, то потеряете балл.

Если в каждой прорешанной задаче вы будете записывать вывод этой формулы, на экзамене этот процесс займет минуты.

Так как последний платеж по кредиту не менее $0.819$ , то имеем неравенство:

Подставим известные значения и найдем p:

Ответ: 17%

$15$ -го января планируется взять кредит в банке на $15$ месяцев. Условия его возврата таковы:

– $1$ -го числа каждого месяца долг возрастает на $3%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со $2$ -го по $14$ -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– $15$ -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$ -е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила $99.2$ тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение

Так как в задаче долг уменьшается равномерно, то речь идет о дифференцированных платежах.

Введем основные понятия:

Представим сумму кредита в виде:

Тогда:

Аналогично посчитаем второй и третий платеж и остаток долга после платежа:

А теперь давай посчитаем последний платеж и остаток долга.

Замечу, что при подсчете платежа, мы вычитаем из n число, меньшее на единицу чем номер платежа.

Суммарные выплаты по кредиту:

Подставим выведенные ранее значения платежей и упростим:

Во второй скобке мы свернули выражение с помощью правил арифметической прогрессии.

Если на экзамене вы используете данную формулу без вывода, то потеряете балл.

Восьмую выплату мы можем найти по формуле:

Подставим известные значения и найдем S – сумму кредита:

Теперь найдем общую сумму выплат:

Ответ: 1488 млн. рублей

$15$ -го января планируется взять кредит в банке на $24$ месяцев. Условия его возврата таковы:

– $1$ -го числа каждого месяца долг возрастает на $1%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со $2$ -го по $14$ -е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– $15$ -го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$ -е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку $958.5$ тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые $12$ месяцев?