В июле планируется взять кредит в банке на сумму 7 млн рублей на срок 10 лет. Условия возврата таковы:
– каждый январь долг возрастает на p % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку p, если известно, что последний платёж будет не менее 0.819 млн рублей.
Решение
Так как в задаче долг уменьшается равномерно, то речь идет о дифференцированных платежах.
Введем основные понятия:

Представим сумму кредита в виде:

Тогда:

Аналогично посчитаем второй и третий платеж и остаток долга после платежа:

А теперь давай посчитаем последний платеж и остаток долга.
Замечу, что при подсчете платежа, мы вычитаем из n число, меньшее на единицу чем номер платежа.

Суммарные выплаты по кредиту:

Подставим выведенные ранее значения платежей и упростим:

Во второй скобке мы свернули выражение с помощью правил арифметической прогрессии:

Если на экзамене вы используете данную формулу без вывода, то потеряете балл.
Если в каждой прорешанной задаче вы будете записывать вывод этой формулы, на экзамене этот процесс займет минуты.
Так как последний платеж по кредиту не менее 0.819, то имеем неравенство:

Подставим известные значения и найдем p:

Ответ: 17%
15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99.2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение
Так как в задаче долг уменьшается равномерно, то речь идет о дифференцированных платежах.
Введем основные понятия:

Представим сумму кредита в виде:

Тогда:

Аналогично посчитаем второй и третий платеж и остаток долга после платежа:

А теперь давай посчитаем последний платеж и остаток долга.
Замечу, что при подсчете платежа, мы вычитаем из n число, меньшее на единицу чем номер платежа.

Суммарные выплаты по кредиту:

Подставим выведенные ранее значения платежей и упростим:

Во второй скобке мы свернули выражение с помощью правил арифметической прогрессии.
Если на экзамене вы используете данную формулу без вывода, то потеряете балл.

Восьмую выплату мы можем найти по формуле:

Подставим известные значения и найдем S – сумму кредита:

Теперь найдем общую сумму выплат:

Ответ: 1488 млн. рублей
15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 958.5 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?
Решение
Так как в задаче долг уменьшается равномерно, то речь идет о дифференцированных платежах.

Введем основые понятия:

Выведем формулу выплат за второй год:

Выведем формулу суммарных выплат за второй год:

Подставим известные значения и найдем исходную сумму кредита S:

Выведем формулу суммарных выплат за первый год:

Подставим известные значения и искомую величину:

Ответ: 1066,5