Три раза в неделю Петя сразу после школы идет на секцию. Если нарисовать график его движения на координатной плоскости, то выглядеть он будет так:

По оси ОХ мы видим на какое расстояние Петя удаляется от школы (горизонтальное движение). По оси ОУ - как Петя двигается относительно школы вертикально, поднимаясь и опускаясь (если высоту на которой находится школа принять за ноль).

Т.е. двигаясь вперед Петя так же двигается вверх или вниз.

И здесь мы можем ввести новое понятие "крутизна" дороги на небольшом промежутке этой дороги. Т.е. на сколько изменится высота при передвижении вперед на небольшое расстояние.

Если небольшое расстояние обозначить Δ (дельта), т.е. Δx=x₂-x₁ - изменение пройденного расстояния от школы, Δy=y₂-y₁ - изменение высоты при пройденном расстоянии относительно школы. Тогда "крутизна" дороги на этом промежутке будет измеряться отношением ∆y к Δx:

"Крутизна" дороги показывает как изменится высота при перемещении вперед. Для более точной оценки "крутизны" необходимо рассматривать очень маленькие участки на оси OX.

В математике понятие "крутизны" называется производной функции. Изменения на бесконечно малые величины называют приращением.

Т.е. насколько изменилось расстояние от школы при движении вдоль оси ОХ называется приращением аргумента и обозначается Δx.

Насколько изменилась высота относительно школы при движении вдоль оси ОХ называется приращением функции и обозначается Δy.

А значит, производная - это отношение приращения функции к приращению аргумента, при бесконечно малых величинах. Если саму функцию обозначить f(x), то производная обозначается - f´(x):

Производная - это скорость изменения функции:

v(t)=s′(t), где s(t) - это функция, t - время, v(t) - производная от расстояния.