На прошлом занятии мы разобрали понятие производной. Сегодня давайте сформулируем определение касательной в некой точке к произвольной кривой (к графику функции).
В геометрии мы рассматриваем касательную как прямую, имеющую с окружностью единственную общую точку.
Прямая AB - секущая (пересекает окружность в двух точках).
Прямая С - касательная (касается окружности в одной точке).
Прямая DK - не имеет с окружностью ни одной общей точки.
т.к. графиком функции может быть не только окружность, но и любая кривая. То касательная к кривой определяется по другому.
Возьмем бесконечно малый промежуток (приращение аргумента Δx=x2-x1), проведем секущую через точки A1 и A2.
Чем ближе A2 к точке A1 (чем меньше расстояние между ними), тем больше секущая A1A2 сливается с касательной, проходящей через точку A1. Тем точнее значение "кривизны" - производной. Т.е. касательная к кривой в точке A1 - это предельное положение секущей, при A2→A1 (→ - стремится).
Давайте вспомним, что касательная - это прямая. А уравнение прямой записывается: y=kx+b, а k=tgα. Значит:
Производная функции f(x) в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке: f'(x)=k, где k - угловой коэффициент касательной с уравнением y=kx+b
Например: Если уравнение касательной в точке x0 имеет вид y=4x+3 => производная в этой точке будет равна 4 т.е. f’(x)=k=4
Важно! α - угол наклона касательной к положительной оси ОX.
Чтобы найти тангенс угла наклона касательной к положительной оси OX необходимо достроить угол до прямоугольного треугольника и по определению тангенса прямоугольного треугольника (отношение противолежащего катета к прилежащему катету) найти производную:
