Задание №1 в варианте ЕГЭ по математике профильного уровня – одно из самых легких. И тем не менее даже отличники часто ошибаются, решая такие задачи. Почему? – Потому что не прочитали условие или допустили арифметическую ошибку. Внимательно читайте условие и проверяйте решение. И не спешите.
Задачи в этой статье специально подобраны так, чтобы представить все возможные типы заданий с таким номером. Часть из них взяты из Банка заданий ФИПИ, другие – авторские.
ВЫЧИСЛЕНИЯ, ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ
1. Стоимость 1 килограмма тыквы составляет 75 рублей. Антон купил тыкву весом 4 кг 400 г. Сколько рублей сдачи он должен получить с 350 рублей?
Купленная тыква стоит 4,4⋅75=330 рублей. Сдача с 350 рублей составит 350−330=20350-330=20 рублей.
Ответ: 20
2. Бегун пробежал 50 м за 5 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.
За 1 секунду бегун пробежит 10 метров. За 60 секунд (1 минуту) - 600 метров. За 1 час он пробежал бы с той же скоростью в 60 раз больше, т.е. 60⋅600=36000 метров. Переводим в километры. Скорость бегуна 36 км/ч.
Ответ: 36
3. Самолет вылетает из Магадана в 15.15 и прилетает в Москву в 15.00 того же дня. Найдите среднюю скорость авиаперелета (в км/ч), если разница во времени между Москвой и Магаданом 8 часов, а длина воздушной трассы 6200 км.
Вылет и прилет всегда указываются по местному времени. Если бы самолет вылетел из Магадана ровно в 15.00 по местному времени, он бы находился в пути 8 часов. Поскольку время вылета 15.15, самолет был в полете 7 часов 45 минут.
Ответ: 800
ЗАДАЧИ НА ОКРУГЛЕНИЕ (С НЕДОСТАТКОМ, С ИЗБЫТКОМ)
Вспомним правила округления чисел. Мы применяем их для десятичных дробей, заменяя число на его приближённое значение, записанное с меньшим количеством значащих цифр. Однако в задачах ЕГЭ мы руководствуемся не только правилами округления, но здравым смыслом.
4. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
Делим 775 на 70, получаем 11 и 5 в остатке. Значит, одиннадцать шлюпок будут полностью загружены пассажирами, а в двенадцатой будет сидеть пять человек. И даже если бы там было два человека или один, все равно ответ — 12 шлюпок. Ответ «одиннадцать, а остальные как-нибудь доплывут» — не принимается, это не фильм «Титаник».
В этой задаче мы округлили с избытком.
Ответ: 12
5. Для покраски 1 кв. м потолка требуется 240 г краски. Краска продаётся в банках по 2,5 кг. Какое наименьшее количество банок краски нужно купить для покраски потолка площадью 50 кв. м?
Чтобы покрасить 50 кв. метров. потолка, нужно 50⋅240=12000 г = 12 кг краски. Разделив 12 на 2,5, получим 4,8. Округляем в сторону большего! Неполную банку краски вам не продадут.
В этой задаче мы округлили с избытком.
Ответ: 5.
6. Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
Больному нужно принять 0,5⋅3⋅21=31,5 г лекарства. В одной упаковке содержится 0,5⋅10=5 г лекарства. Разделив 31,5 на 5, получим 6,3. Округляем до большего.
В этой задаче мы округлили с избытком.
Ответ: 7.
7. Павел Иванович купил американский автомобиль, на спидометре которого скорость измеряется в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 50 миль в час? Ответ округлите до целого числа.
По условию, 1 миля равна 1609 м, 50 миль/ч составляют 50⋅1609 м/ч = 80450 м/ч = 80,45 км/ч. Округляя найденную величину, получаем 80.
В этой задаче мы округлили с недостатком.
Ответ: 80
8. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 30 рублей за штуку. У Никиты есть 500 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Наташе на день рождения?
Разделив 500 на 30, получим 16,23. Никто не продаст нам 16 и еще 0,23 от цветка. Округлив до меньшего, получим 16. Принято, что букет должен состоять из нечетного числа тюльпанов.
В этой задаче мы округлили с недостатком.
Ответ: 15.
ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
Во многих задачах используется понятие — процент.
Вспомним, что 1% — это одна сотая часть от чего-либо. Что такое дробь (то есть часть) от числа? Когда мы говорим «одна четверть от x» — это значит, что дробь 1/4 умножается на величину x. «2% от 60 минут» означают, что 2/100 надо умножить на 60.
Чтобы найти дробь (или часть) от числа, надо дробь умножить на это число.
В задачах (да и в жизни) часто говорится об изменении какой-либо величины на определенный процент. Что это значит? Повышение цены на 10% означает, что цена увеличилась на 10%.
Если обозначить исходную цену товара за x, то его цена увеличится на 0,1x. Тогда x+0,1x=1,1x - новая цена товара
Что мы сделали? Мы взяли исходную цену товара, обозначили ее за x и прибавили к ней 10% от исходной цены, переведя процент в десятичное число и умножив его на исходное (правило нахождения процента от числа).
Или можно рассмотреть с другой стороны. После повышения цены товар стал стоить 110% (на 10% больше), а значит можно процент перевести в десятичное число (110%=1,1) и умножить на исходную цену товара. Т.е. 1,1x - новая цена товара.
Скидка на 25% означает, что прежняя цена уменьшилась на 25%. Если первоначальная цена равна x, то новая цена составит x−0,25x=0,75x (или 100%-25%=75% далее переводим процент в десятичное число и умножаем на исходное: 0,75x - новая цена товара).
9. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10 %?
Очевидно, что 10% от 40 — это (10/100)⋅40=0,1⋅40=4. Новая цена ручки составит 44 рубля. 900 разделим на 44, получим 20 и 20 в остатке. Округляем с недостатком. Следовательно, на 900 рублей можно купить 20 ручек.
Ответ: 20
Легко? Да, очень легко. Однако не будем слишком расслабляться. Даже среди детских задач под номером 1 встречаются интересные экземпляры. Вот, например, задача 1, с которой справляются далеко не все выпускники:
10. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
Запомним важное правило: за 100% принимается та величина, с которой мы сравниваем. Цена была повышена на 16% по сравнению с чем? — с прежней ценой. Значит, прежняя цена — это 100%, новая цена — 116%. Составляем пропорцию и решаем ее:
Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.
Еще одна задача на проценты. Обратите на нее внимание — она не так проста, как может показаться на первый взгляд.
11. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?
Марья Константиновна получила 9570 рублей после удержания налога. Следовательно, у нее уже удержали 13%, и выдали ей ее 87% от заработной платы. Составляем пропорцию и решаем ее:
Получаем, что зарплата Марьи Константиновны составляет одиннадцать тысяч рублей.
Возможно, эта печальная история бедной женщины поможет вам выбрать себе правильное будущее :-)
Следующая задача — самая сложная из тех, которые могут вам встретиться под номером 1.
Ответ: 11000
12. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?
В чем сложность этой задачи и почему ее редко решают правильно? Дело в том, что «15 процентов» или «45 процентов» — величины относительные. Каждый раз за сто процентов могут приниматься разные величины. Помните правило: за сто процентов принимается в каждом случае то, с чем мы сравниваем.
Получим, что дети и подростки составляют 15% от жителей. Значит, их число — это 15% от 200000, то есть 0,15 надо умножить на 200000. Получим, что городе N 30000 детей и подростков.
Следовательно, взрослых 170000 (200000-30000). Среди взрослых 45% не работает. Теперь за 100% мы принимаем число взрослых. Получается, что число работающих взрослых жителей равно 55% от 170000, то есть 93500.
Ответ: 93500.
13. На сколько процентов 40 больше, чем 10? На сколько процентов 10 меньше, чем 40?
Сначала найдем сколько процентов составляет число 40 от числа 10: 40:10*100=400% Т.к. число 10 составляет 100%, то ответом будет 400%-100%=300%
Во-втором случае, найдем сколько процентов составляет число 10 от числа 40: 10:40*100=25%. Т.к. число 40 составляет 100%, то ответом будет 100%-25%=75%
Ответ: 300 и 75
14. Числитель дроби увеличили на 10%, а знаменатель уменьшили на 60%. На сколько процентов увеличилась в результате дробь?
Ответ: 175
15. Что больше – 5% от 70 долларов или 70% от 5 долларов?
Сначала найдем 5% от числа 70: 0,05*70=3,5
Затем найдем 70% от числа 5: 0,7*5=3,5
Ответ: равны
16. На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 30%, а другую – на 70%?
Площадь увеличенного прямоугольника составляет 221% от площади исходного прямоугольника. Т.к. сравниваем мы с исходным прямоугольником, то его площадь берем за 100%. Тогда площадь увеличенного прямоугольника будет на 121% больше.
Ответ: 121