Параллелограмм - это четырехугольник, к которого противоположные стороны попарно параллельны (рис.8).
Если мы знаем, что четырехугольник - параллелограмм, то тогда к нему применяются свойства.
Свойства параллелограмма:
- В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (рис.9).
- Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам (рис.10).
 |
 |
Если мы не знаем что за четырехугольник дан, то доказать, что это параллелограмм можно с помощью признаков.
Признаки параллелограмма:
- Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм (рис.11).
- Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм (рис.12).
- Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм (рис.13).
 |
 |
 |
Практические задания
- Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если а) <BAC=<ACD и <BCA=<DAC; б) AB || CD, <A=<C (решение)?
- Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а)одна сторона на 3 см больше другой б) разность двух сторон равна 7 см в) одна из сторон в два раза больше другой (решение).
- Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см., <C=30 гр., а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма (решение).
- Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите перимитер этого параллелограмма, если BK=15см, KC=9см (решение).
- Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7см и 14см (решение).
- Найдите углы параллелограмма ABCD, если: а) <A=84гр б) <A-<B=55 гр. в)<A+<C=142гр г) <A=2 (решение)
- В параллелограмме MNPQ проведен перпендикуляр NH к прямой MQ, причем точка H лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что MH=3см, HQ=5см, <MNH=30гр (решение).
- Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником (решение).
- Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB не равно BC и угол A острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой C. Докажите, что четырехугольник BMDK - параллелограмм (решение).
- На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ - параллелограммы (решение).
- На рис.163 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы O1A и О2B равны. Стержень AB, длина которого равна расстоянию O1O2 между центрами колес, передает движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки AB и O1O2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой (решение).
- Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что четырехугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков OA OB, OC и OD, - параллелограмм (решение).
- На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки P и Q так, что PB=QD. Докажите, что четырехугольник APCQ - параллелограмм (решение).
- проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что AN=NC (решение)
- Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки (решение).