Сегодня мы поговорим о многоугольниках.
А что же такое многоугольник?
Фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек, называется многоугольником (рис.1).
И сразу возникло еще два вопроса: какие отрезки называются смежными, а какие - несмежными?
Отрезки называются смежными, если имеют одну общую точку, а несмежные - это отрезки, которые не имеют общих точек.
Например, на рис.1 смежными отрезками называются отрезки AB и AF (или AB и BC, или BC и CD, или CD и DE, или DE и EF, или EF и FA), а несмежными - AB и ED (или AD и СD и т.п.).
Точки называются вершинами многоугольника, а отрезки - сторонами многоугольник.
Например, на рис.1 A, B, C, D, E, F - это вершины многоугольника, а AB, BC, CD, DE, EF, FA - стороны многоугольника.
Периметр многоугольника - это сумма длин всех сторон (рис.2).
Какие многоугольники вы знаете?
Например: треугольник, квадрат, прямоугольник, пятиугольник, десятиугольник и т.д.
Если многоугольник имеет n-вершин, то он называется n-угльником и имеет n сторон. Например, треугольник имеет 3 стороны и три вершины, а пятиугольник имеет 5 вершин и 5 сторон и т.п.
Две вершины, принадлежащие одной стороне называются соседними.
Например, на рис. 3-а соседними будут вершины R и O, т.к. принадлежат одной стороне RO (или O и S, или S и P, или P и F, или F и R).
Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника.
Например, на рис. 3-б диагоналями будут отрезки AG, BL, CT.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю (рис.4).
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины (рис.5).
Обратите внимание, что если мы проведем прямую через любую сторону выпуклого многоугольника, выпуклый многоугольник всегда будет находиться по одну сторону от прямой (рис.5-б). А вот если мы будем проводить прямые через стороны невыпуклого многоугольника, всегда найдется сторона, которая разобьет невыпуклый многоугольник на две части (рис.5-а).
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)·180° (рис.6).
Есть еще одна формула нахождения суммы углов правильного многоугольника (это многоугольник у которого все стороны и все углы равны): α·n, α - это градусная мера каждого угла правильного многоугольника, а n - это количество углов.
Например, нужно найти сумму углов шестиугольника, каждый угол которого равен 120°: 120°·6=720°
Обратите внимание, что мы можем воспользоваться и первой формулой (нахождение суммы углов для произвольного многоугольника): (6-2)·180°=720°
Т.е. для правильного многоугольника будет верным равенство: (n-2)·180°=α·n
О треугольниках мы подробно говорили в курсе 7 класса. А сегодня подробнее поговорим о четырехугольниках.
Каждый четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис.7).
Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.
Давайте рассмотрим прямоугольник ABCD: AB и DC - противоположные стороны, AD и BC - противоположные стороны. <B и <D - противоположные углы, <A и <C - противоположные углы.
Легко посчитать сумму углов нашего прямоугольника ABCD (сумму углов четырехугольника):
(n-2)·180°=(4-2)·180°=360°
Практические задания
- Начертите выпуклые пятиугольньик и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведенные диагонали каждый многоугольнике (решение)?
- Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника б)шестиугольника в) десятиугольника (решение).
- Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а)90° б)°. в)120° г)108° (решение).
- Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой их других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм (решение).
- Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвертая - в три раза больше второй (решение).
- Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу (решение).
- Найдите углы A, B и C выпуклого четырехугольника ABCD, если <A=<B=<C, а <D=135° (решение).
- Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4,5 (решение).